Exercice 1
On considère la série entiere f(z)=1+3z+ségma(an=3an-1-2an-2)z" de rayon de convergence R.
n=2
- 1.Montrer que f(z)=1+3z+3z
- 2.Déduire que f(z)=ségma2z2-3z+1 1
- 3.Montrer que f(z)=2Σ2"z". n=0
- 4.Déduire la valeur de R.
Exercice 2.
Soity=ségma (anx).
1. Trouver les an sachant que yest solution de l'équation différentielle du deuxième ordre
- x(xy”+4y)+2y=e
2.Déduire que y=1/2(e-1-x).(Uiliserle développement en série entiere de e).
Exercice 3.
Soientz=x+iyet f:z→Re(f(z))+ilm(f(z)) une fonction complexe, donner la partie réélle et la partie imaginaire de fdans les cas suivants:
- 1.f(z)=z2.
- 2.f(z)=ln(z)avecz=1-i✓(3).
- 3.f(z)= z2 ln(z)avecz=1-i✓(3).
Exercice 4.
Montrer les limites suivantes :
- 1. 3z4-2z3+8z2-2z+5 1-2
- 2. lim z+2iRe(z)=1+i.
Exercice 5.
Vérifier les équations de Cauchy-Riemann pour les fonctions suivantes:
- 1.f(z)=sin(z).
- 2.f(z)=
Exercice 6.
Soient z=x+iy= re8 et f(z) = U(x.y) +V(x,y) Montrer que les équations de Cauchy-Riemann en coordonnées polaires s'écrivent comme suit:
Pour f(z) = 1n(4+iarg(z) avec Re(z) > 0 vérifier alors que f est holomorphe.
Exercice 7.
Calculer les dérivées des fonctions suivantes:
- 1./(z)=sin(z+2i).
- 2./(z)=(i+z).
Exercice 8.
Soit la fonction ftelle quef(z)=2x-5z pour tout z E c.
- 1.Montrer que fest holomorphe.
- 2.Calculer f'(z) pour toutze C*.