series d'exercices en mécanique quantique SMPC
Exercice 1: (effet Compton)
On se propose d'étudier l'effet Compton. Pour cela, on considère un faisceau lumincux de longueur d'onde A se propageant dans le vide et se dirigeant vers une cible ne contenant que des électrons libres que l'on supposera au repos. Soit m la masse de l'électron etX' la longueur d'onde de la lumière diffusée après les chocs photon-électron.
1-Rappeler les relations de Planck Einstein.
2-Quelle est le contenu physique de ces relations.
3-En relativité restreinte, l'énergie totale E et l'impulsion p sont données en fonction de la vitesse v par:
c étant la célérité de la lumière dans le vide
Établir les relations énergie-impulsion:
E2=p2c2+㎡2c4
4-Ecrire les équations de la conservation de l'énergie totale et de l'impulsion lors d'un choc photon-électron.Faire un schéma et projeter sur les axes OX (direction du photon-incident) et OY (direction de l'électron diffusé). On notera a l'angle que fait la direction de photon .
diffusé avec l'axe OX, θ l'angle que fait la direction de l'électron diffusé avec l'axe OY et p l'impulsion de l'électron après le choc.
5-Calculer de deux manières différentes Pé en fonction de λ, X' et a. En déduire la variation relative de la longueur d'onde en fonction du paramètre a =n et de a.
6-Calculer l'énergie du photon diffusé Eyen fonction de l'énergie de photon incident Ey;de a et de a.
7-Exprimer l'angle θ en fonction de a et α.
Exercice 2 : (Paquet d'onde.)
On considère une particule libre de masse m, d'énergie E dont l'état peut être décrite par la fonctionψ(x,t)
1-Soit la fonction d'onde ψ(x,t)=Aei(kx-wt)
a- Donner la relation qui existe entre w et k pour que ψ(x,t) soit solution de l'équation de Schrödinger. En déduire la valeur de l'énergie E en fonction de ω
b-Calculer la densité de probabilité de la particule.
c-L'état du système peut-il être décrit par ψ(x,t) ainsi définie.
2-on propose la fonction ψ(x,t) définie par :
ψ(x,t)=c g(k)elkx e-iwtdk
Ou g(k) est une fonction de vecteur d'onde
a-Justifier(sans faire de calculs) pourquoi ψ(x,t) est une solution de l'équation de Schrödinger.ψ(x,t) représente-t- elle un état physique de système.
b-A t=0 1'état de système est représenté par ψ(x,0)
- -pour quelle valeur de c, g(k) serait la transforme de Fourier de la fonction de ψ(x,0)
- -quelle condition doit satisfaire g(k) pour que ψ(x,0)oit normalisable