EXAMEN DE LA MECANIQUE DU SOLIDE
Un solide S, homogène et plein, de masse M et de centre de masse G, est constitué de deux solides solidaires S1 et S2.
S1 est une demi-sphère de rayon a, de centre H et de masse m1. S2 est un cylindre de hauteur h, de masse m2 et dont la base est de rayon a.
Le solide S est en mouvement par rapport à un référentiel Ro(O, x。, ỷo, žo) supposé galiléen. Le solide est en contact avec le plan (0, xo, o) en un point I (voir figure). On repère la position de S dans Ro par les angles d'Euler habituels ψ,θ et φ et par les coordonnées x, yet z de G. On donne HG = Lz.
On désigne par R1(G,ū,v,żo) et R2(G,ū,w,ż)les deux repères intermédiaires et R(G, x, ỷ, z) le repère lié à S. Tous les repères considérés dans cet exercice sont orthonormés directs.
La matrice d'inertie du solide S en G est donnée par : I(G,S)
I- Cinématique et cinétique:
1°- Montrer que la cote z de G dans Ro est donnée par :
z=a+Lcos0
2°- Déterminer le nombre de degré de liberté du solide.
3°- Déterminer le vecteur de rotation instantané Ās/x。 du solide par rapport à Ro. 4°- Exprimer dans la base (xo, Уo, zo), les vecteurs suivants: ü(G/Ro) et ỹ(G/Ro). 5°- Déterminer v(I E S/Ro) qu'on exprimera dans la base (ū, v, zo). Commenter le résultat obtenu.
6°- Justifier, sans faire de calcul, la forme de la matrice d'inertie I(G,S).
7°- Déterminer le moment cinétique δg(S/Ro) en G du solide S par rapport à Ro. 8°- Déterminer le moment dynamique ổc(S/Ro) en G du solide S par rapport à Ro. 9°- Déterminer l'énergie cinétique Ec(S/Ro) du solide S par rapport à Ro.
10°- Déterminer les paramètres d'inertie A et C de la matrice d'inertie I(G,S) en fonction de M,m1,m2, a,h et L.
II-Dynamique:
Les actions extérieures exercées sur S sont :
Le champ de pesanteur constant d'accélération g=-gzo.
·La réaction R = Rž, du plan sur le solide S au point I (pas de frottement).
· Une action F = -KOG exercée en G. K est une constante positive.
1°- Par application du théorème de la résultante dynamique, déterminer x(t),ў(t) et R.
2°- En appliquant le théorème du moment cinétique au point G, montrer que :
a(S/Ro)· żo = cte = K1et āg(S/Ro)·z=cte=K2
3°- En déduire deux intégrales premières du mouvement.