EXAMEN DE LA MECANIQUE DU SOLIDE
Un demi-disque homogène S de centre H, derayon a et de masse m se déplace dans le plan (xoOyo) du référentiel Ro(O,xo,Уo,zo) de telle sorte qu'il roule sans glisser sur l'axe Oxo. On désigne par I le point géométrique de contact de S avec l'axe Oxo. On lie à S le référentiel R(H, x, ý, ž) indiqué sur la figure ci-dessous. On repère la position de S dans Ro par l'angle φ et par l'abscisse x de H. L'action de contact de l'axe Oxo sur S est représentée par la force R appliquée en I. Le solide est dans le champ de pesanteur constant d'accélération g = -gyo. Tous les repères considérés dans cet exercice sont orthonormés et directs. On prendra Ro comme repère de projection.
La matrice d'inertie du solide S en H est donnée par :
I- Cinématique et cinétique:
1°- Montrer que la position du centre d'inertie G de S est donnée par :
HG=-Ly
où L est une constante positive à déterminer.
2°- Déterminer le vecteur de rotation instantané s/z, du solide par rapport à Ro.
3°- Déterminer V(1/Ro) etV(1/R).
4°- En déduire la vitesse de glissement V(I E S/Ro).
5°- Ecrire la condition de roulement sans glissement. Compte tenu de cette condition, on utilisera dans la suite de l'exercice la seule variable de position φ.
6°-Déterminer l'axe instantané de rotation Δ.
7°-Déterminer les vecteurs suivants : V(G/Ro) ety(G/Ro).
8°-Déterminer le moment cinétique ög(S/Ro) en G du solide par rapport à Ro.
9°- Déterminer le moment dynamique ổc(S/Ro) en G du solide par rapport à Ro.
10°-Justifier, sans faire de calcul, la forme de la matrice d'inertie I(H, S).
11°- Déterminer les éléments A, B et C de la matrice d'inertie I(H,S).
12°-Déterminer l'énergie cinétique Ec(S/Ro) du solide S par rapport à Ro.
II- Dynamique:
1°- Appliquer le théorème de la résultante dynamique au solide S.
2°- Appliquer le théorème du moment dynamique au solide S au point G.
3°-En déduire l'équation différentielle du mouvement.
4°-Retrouver cette équation différentielle en utilisant le théorème de l'énergie cinétique.
